壹、推論統計

 

推論統計      統計估計(EX:全校同學的身高)  估計?

          假設檢定(EX:八公克的蚵仔)   誤差?

 

         統計估計

         假設檢定

         回歸分析

         卡方檢定

          (變異數分析)

 

統計學理論 (機率論)

常態分配?誤差值?

統計估計:點估計

 

一、集中量數

    集中量數     1.平均數   =

 

二、離散量數

    ()離散量數  2.變異數 S =   df自由度

 

    ()離散量數  3.標準差 S  ==


例一 本班同學的平均身高

 

X

Xi-

(Xi-)

1

168

1.3

1.69

2

165

-1.7

2.89

3

182

15.3

234.09

4

170

3.3

10.89

5

173

6.3

39.63

6

180

13.3

176.89

7

163

-3.7

13.63

8

150

-16.7

278.89

9

162

-4.7

22.09

10

162

-4.7

22.09

11

150

-16.7

278.89

12

163

-3.7

13.69

13

160

-6.7

44.89

14

175

8.3

68.89

15

178

11.3

127.69

 

=166.7

Σ=0

Σ=1336.95

計算過程:

   1絕對離差mad  =        4S==9.77

   2全距=最大-最小                      5全距=182-150=32

   3S==95.496                  6Madx==7.84

 

 

例二 走哪一條路比較好

 

縱貫

40

42

43

44

46

中山

21

36

42

55

61

1.求走縱貫的  2.SS  3.求中山高的SS   4.全距   5.絕對離差

代表集中   S代表離散)

==       = 

 

 

Xi-

(Xi-)

40

-3

9

42

-1

1

43

0

0

44

1

1

46

3

9

 

=43

Σ=0

Σ=20

 

 

 

21

-22

484

36

-7

49

42

-1

1

55

12

144

61

18

324

 

=43

Σ=0

Σ=1002

計算過程:                                

  1 S==                                              1 S==

  2 S =                                                  2 S==

  3 全距=最大-最小                           3 絕對離差mad

  4 縱:46-40=6                                             4 =

  5 中:61-21=40                                            5 =

 

貳、中位數(M)

    奇數項:M              偶數項:M項與項的平均數

例一 求8、6、4、5、3、10、12數位的中位數

     1排列小到大 3、4、5、6、8、10、12

     2n=7 為奇數

     3M項為第四項

     4M = 6

 

例二 求數列8、6、4、5、3、10的中位數

     1排列小到大 3、4、5、6、8、10

     2 n=6 為偶數

     3 M為第項與第項的平均

        3項、第4 => 56

     4 M=

参、四分位數

 

 


                       

    =   =   =

 

例一 60、62、78、76、75、84、95、90、80,求該數列的

      1 小→大排列60、62、75、76、78、80、90、95

      2 n=9  M= 5  ()

          2.5= (62+75)/2=68.5  2.75=(75+62)*0.75+62=71.75

      3 =  78  =() = 2.75() =71.75

      ==7.25() = (90-84)*0.25+84=85.5

例二 求54、58、62、66、70、74、82、86的

  M=    =M=70 

 =

 =

肆、假設檢定

                          標準數

例一 某賣場賣米,每包3公斤,想知道賣場有沒有欺騙顧客?取20包秤重

3.1

2.9

3.2

2.7

3.1

3.1

2.8

2.7

2.7

3.1

2.9

2.7

2.8

2.9

3.0

3.1

2.7

3.2

2.8

3.1

 

(左尾檢定)

 

=2.93

N

X

Xi-

(Xi-)

1

3.1

0.17

0.0289

2

2.9

-0.03

0.0009

3

3.2

0.27

0.0729

4

2.7

-0.23

0.0529

5

3.1

0.17

0.0289

6

3.1

0.17

0.0289

7

2.8

-0.13

0.0169

8

2.7

-0.23

0.0529

9

2.7

-0.23

0.0529

10

3.1

0.17

0.0289

11

2.9

-0.03

0.0009

12

2.7

-0.23

0.0529

13

2.8

-0.13

0.0169

14

2.9

-0.03

0.0009

15

3.0

0.07

0.0049

16

3.1

0.17

0.0289

17

2.7

-0.23

0.0529

18

3.2

0.27

0.0729

19

2.8

-0.13

0.0169

20

3.1

0.17

0.0289

 

=2.93

Σ=0

Σ=0.642

S==

if S=0.3378 S==0.183

Z  Z=  (M為標準數)

Z=

 

小→及格 大→不及格

結論:Z= -1.71<

差異不顯著 賣場沒有欺騙顧客

 

 

 

1.MKG   MKG

2.選擇適當的統計量

3.因為KG =>單尾檢定

4.S 估計σ    母體         估計M    平均數

自由度

 
5.Z Z=

6.查表 =

7.下結論

假設檢定

1.左尾檢定           2.右尾檢定          3.雙尾檢定

 

例二 水果商賣蘋果,宣稱每個重50g,抽樣20個秤重,α=0.01,是否屬實?

 

51

49

48

48

50

49

51

52

46

46

47

45

47

53

48

49

49

50

51

50

N

X

Xi-

(Xi-)

1

51

2.05

4.2025

2

49

0.05

0.0025

3

48

-0.95

0.9025

4

48

-0.95

0.9025

5

50

1.05

1.1025

6

49

0.05

0.0025

7

51

2.05

4.2025

8

52

3.05

9.3025

9

46

-2.95

8.7025

10

46

-2.95

8.7025

11

47

-1.95

3.8025

12

45

-3.95

15.6025

13

47

-1.95

3.8025

14

53

4.05

16.4025

15

48

-0.95

0.9025

16

49

0.05

0.0025

17

49

0.05

0.0025

18

50

1.05

1.1025

19

51

2.05

4.20205

20

50

1.05

1.1025

 

=48.95

Σ=0

Σ=84.95

 

= 48.95  S= = 4.47

S == = 2.11   查表P.667

1. M50  M50 (左尾檢定)

2. Z= ==2.23

3.查表

4.下結論

Z=2.23

未達顯著差異

該批蘋果符合水果商的宣稱

 

 

 

 

 

 

 

例三 P.316  泡麵含鹽量不得超過200mg,抽樣20包,含鈉的平均是244mg,標準差24.5mg, 請在α=0.05的顯著水準下,含鹽量是否合乎規定?

= 244  S = 24.5 n= 20

M220  M220 (右尾檢定)

Z= ==4.381

查表       Z=4.381

差異達顯著水準,拒絕,該批泡麵中含納量超過220mg

 

例四 鰻魚250g(太大魚刺硬;太小沒口感),一批貨抽樣48

n= 48    = 252  S = 6.76 M= 250 α=0.1

M=250  M250

Z= ===2.04

查表              Z=2.04

差異達顯著水準,拒絕,該批鰻魚貨不合格。

 

例五 P.328   9n= 64 = 750  S = 30 M= 760 α=0.05

M760  M760

Z= ===  (-2.67)      

Z= 2.67             差異達顯著差異,拒絕非屬實

 

M755  M755

Z= ===  (-1.33)       

Z= 1.33             差異達顯著水準,屬實

 

一個母數→一堆東西

 左 尾→太多、太大沒關係,太小不行

 右 尾→太少、太小沒關係,太大不行

 雙 尾→太大、太小不行

兩個母數→兩堆東西

 

例六 從甲乙兩班各抽10位同學比較成績,在α=0.05時,是否有顯著差異?雙尾

86

85

79

82

65

76

74

69

72

80

78

80

82

77

86

89

89

84

62

64

 

 

 

n

1

86

78

-9.2

1.1

84.64

1.21

2

85

80

-8.2

-0.9

67.24

0.81

3

79

82

-2.2

-2.9

4.84

8.41

4

82

77

-5.2

2.1

27.04

4.41

5

65

86

11.8

-6.9

139.24

47.61

6

76

89

0.8

-9.9

0.64

90.01

7

74

89

2.8

-9.9

7.84

90.01

8

69

84

7.8

-4.9

60.84

24.01

9

72

62

4.8

17.1

23.04

292.41

10

80

64

-3.2

15.1

10.24

228.01

 

=76.8

=79.1

 

 

Σ=4 25.6

Σ= 802.9

=        

= = 47.29

= = 89.2

Z== = (-0.623)

查表

下結論:Z=0.623

接受             ∴甲乙兩班成績沒有顯著差異

共同變異數 Z=

 

例七 台銀宣稱客戶等待的時間比一銀短,現在台銀抽36位客戶,得等待的時間的=5.86分,變異數為3.95;一銀抽49位客戶,得等待時間=6.04分,變異數為4.46,在α=0.01下,在台銀的等待時間,是否比一銀短?左尾

                    (36-1)(49-1)

Z= ==  (-0.4)       查表

Z= 2.04          拒絕台銀的等待時間沒有比一銀短

 

例八 P.322 (例9-10

甲:=12 =84  = 4 α=0.01

乙:=18 =77 = 6

=        

查表           Z== =3.83       

Z= 3.83      拒絕兩班達顯著差異

 

 

例九 P329

14. 長:=36 =32,000  = 2,000 α=0.05

        立:=25 =31,500 = 1,500

=        

查表           Z==  =1.44

Z= 1.44 拒絕達顯著差異

15. A=100 =75.5  = 4.4 α=0.05

     B=100 =80.4 = 5.6

=     

查表        Z==  =-1.55

Z= 1.54    拒絕達顯著差異

 

例十 西瓜小販宣稱西瓜醫科都是10kg,標準差是0.5kg,現抽樣36個,平均每一個9.8kg,α=0.05,宣稱是否屬實?雙尾

<方法一>乙值法

M =10  M10

查表         Z==  =(-2.4)

Z= 2.4      拒絕該宣稱非屬實

<方法二>信賴區間法

M =10  M10      Z= (-2.4)  αx = 0.16kg 

9.8-0.16M9.8+0.16

9.64M9.96

<方法三>臨界值法

M =10  M10        2.03 x =  0.16

10-0.16M10+0.16

9.84M10.16

<方法四>P值法

M =10  M10      Z= 2.4 

α=0.05

0.0082 x 2 = 0.0164

0.0164 < 0.05    犯錯機率很小

伍、相關

方法一:Z分數法

方法二:原始分數法

方法三:XY

X= 

Y= 

r=   

 

例一

n

數學X

自然Y

1

74

84

0.8

1.066

0.8528

2

46

83

1.12

0.852

0.9543

3

77

85

1.28

1.279

1.6371

4

63

74

-0.96

-1.066

1.0233

5

63

75

-0.96

-0.852

0.8179

6

61

79

-1.28

0

0

7

69

73

0

-1.279

0

 

=69

=79

Σ=0

Σ=0

Σ=5.2853

= 6.26 = 4.69

Z值法

   r= = = ==

r = = 0.76

 

例二

n

數學X

自然Y

X

Y

XY

1

74

84

5

5

25

25

25

2

46

83

7

4

49

16

28

3

77

85

8

6

64

36

48

4

63

74

-6

-5

36

25

30

5

63

75

-6

-4

36

16

24

6

61

79

-8

0

64

0

0

7

69

73

0

-6

0

36

0

 

=69

=79

 

 

Σ=274

Σ=154

=155

r= = =0.75

 

陸、迴歸

例一 A(2,4) B(1,1) C(3,5) 1.求過AB兩點的直線 2. 求過ABC三點的直線

方程式  斜率m=

m= = 3

n

X

Y

X-

Y-

(X-)

(X-)(Y-)

1

2

4

0

-0.6

0

0

2

1

1

-1

-2.3

1

2.3

3

3

5

1

1.7

1

1.7

 

=69

=79

 

 

Σ= 2

Σ= 4

Y= a+bx b=    a = y-bx

b = 2  a = 3.3-2*2 = (-0.7)  

<性質一>最適直線依定會通過 ()

 

例二

n

X

Y

X

XY

1

-2

0

4

0

2

-1

0

1

0

3

0

1

0

0

4

1

1

1

1

5

2

3

4

6

 

=0

=1

ΣX= 10

ΣXY= 7

5a=5 =>a= 1  10b=7 => b = 0.7

Ans y= 1+0.7x

 

   

a = =1                b = = 0.7

y = 1+ 0.7x

 

 

 

例三

n

X

Y

X-

Y-

(X-)

(Y-)

(X-)(Y-)

1

161

50

-4.5

-5.5

20.25

30.25

24.75

2

162

53

-3.5

-2.5

12.25

6.25

8.75

3

163

52

-2.5

-3.5

6.25

12.25

8.75

4

164

55

-1.5

-0.5

2.25

0.25

0.75

5

165

55

-0.5

-0.5

0.25

0.25

0.25

6

166

57

0.5

1.5

0.25

2.25

0.75

7

167

56

1.5

0.5

2.25

0.25

0.75

8

168

59

2.5

3.5

6.25

12.25

8.75

9

169

58

3.5

2.5

12.25

6.25

8.75

10

170

60

4.5

4.5

20.25

20.25

20. 25

 

=165.5

=55.5

 

 

Σ= 82.5

Σ= 222.25

Σ= 82.5

1.     求身高與體重的回歸直線方程式        2.預測身高180cm,體重多少

b =

(1) b == 1 

y= a+bx

55.5=a+1*165.5

a=(-110)

=> y=(-110)+x

 

(2) y=(-110)+x

y=-110+180

y=70kg

 

b的意義=>X若增加 1y就增加b

a的意義=>X=0y=0 (b為負=>X若增加 1y就減少b)

 

 

 

染、卡方檢定

例一 搖獎機內有10個小球,標示0∼9,今連續搖獎100次,次數分配如下:

數字X

次數

12

14

16

15

15

試以

H0:搖獎機小球出現的機率相等

H1:搖獎機小球出現機率不相等

n

Oi

EC

Oi-Ec

1

6

10

-4

16

1.6

2

5

10

-5

25

2.5

3

5

10

-5

25

2.5

4

12

10

2

4

0.4

5

14

10

4

16

1.6

6

16

10

6

36

3.6

7

7

10

-3

9

0.9

8

5

10

-5

25

2.5

9

15

10

5

25

2.5

10

15

10

5

25

2.5

X=20.6

查表X=0.05,g=16.92

20.6>X0.05,g=16.92

差異達到顯著差異

拒絕H0

搖獎機小球出現機率不相等

 

 

 

例二 P482(12-4)

 

Oi

Ei

Oi-Ei

20

16.67

3.33

11.0889

0.67

24

16.67

7.33

53.7289

3.22

10

16.67

-6.67

44.4889

2.67

15

16.67

-1.67

2.7889

0.17

14

16.67

-2.67

7.1289

0.43

17

16.67

0.33

0.1089

0.01

H0:出現機率相等

H1:出現機率不相等

7.17

查表X0.05511.07

未達顯著差異 接受H0 此骰子差為公正

 

例三 有ABC三家手機公司,市場佔有率為121現訪問100人購買哪一家手機

問在 市場佔有率仍為121

公司

合計

人數

18

55

27

100

H0:佔有率仍為121

H1:不為121

n

Oi

Ei

Oi-Ei

1

18

25

-7

49

1.96

2

55

50

5

25

0.5

3

27

25

2

4

0.16

2.62

查表X=0.05,2=5.99

=2.62<X0.05,2=5.99

未達顯著差異  接受H0,佔有率仍為1:2:1

例三P478∼P480習題345任選一題

480-4

Oi

Ei

Oi-Ei

10

16.67

-6.67

44.4889

2.69

12

16.67

-4.67

21.4889

1.29

15

16.67

-1.67

2.7889

0.17

20

16.67

-3.33

11.0889

0.67

23

16.67

6.33

40.0689

2.44

20

16.67

3.33

11.0889

0.67

H0:出現機率相等

H1:出現機率不相等

7.93

查表X0.01,5=15.09  

7.93< X0.01,5=15.09

未達顯著差異 接受H0,.此骰子為公正差

 

例四 民國88年,人民對經濟的看法 好:65% 不好:20% 沒意見:15

今抽取1000人訪問,問在0.05,人民的看法是否已經改變?

 

不好

沒意見

300

600

100

 

n

Oi

Ei

Oi-Ei

300

650

-350

122500

188.46

不好